任意模数多项式乘法（MTT）笔记

**任意模数多项式乘法（MTT）笔记**

###1. 概述任意模数多项式乘法（Modular Multivariate Polynomial Multiplication，简称 MTT）是一种高效的算法，用来计算两个多项式之间的乘积。这个算法广泛应用于密码学、编码理论和计算机科学等领域。

###2. 模数多项式在 MTT 中，我们将多项式表示为模数多项式（Modular Multivariate Polynomial），它是一个由变量和系数组成的表达式。例如，一个二元多项式可以表示为：

$$f(x, y) =3x^2 +2xy + x +4y +1$$其中，$x$ 和 $y$ 是变量，$3$, $2$, $1$, $4$ 和 $1$ 是系数。

###3. MTT 算法MTT 算法的基本思想是将多项式乘积分解为多个小乘积，然后使用模数乘法（Modular Multiplication）计算这些小乘积。下面是一个简单的示例：

假设我们想计算两个多项式之间的乘积：

$$f(x, y) =3x^2 +2xy + x +4y +1$$$$g(x, y) = x^2 + xy +2y +3$$首先，我们将这两个多项式展开为系数和变量的乘积：

$$f(x, y) = (3x^2)(1) + (2xy)(1) + (x)(1) + (4y)(1) + (1)(1)$$$$g(x, y) = (x^2)(1) + (xy)(1) + (2y)(1) + (3)(1)$$然后，我们将这两个多项式相乘，得到：

$$(f cdot g)(x, y) = (3x^2)(x^2) + (2xy)(x^2) + (x)(x^2) + (4y)(xy) + (1)(x^2)$$$$+ (3x^2)(xy) + (2xy)(xy) + (x)(xy) + (4y)(2y) + (1)(2y)$$$$+ (3x^2)(2y) + (2xy)(2y) + (x)(2y) + (4y)(3) + (1)(3)$$现在，我们可以使用模数乘法计算这些小乘积。例如，计算 $(3x^2)(x^2)$：

$$(3x^2)(x^2) =9x^4 equiv9(x^4) pmod{p}$$其中，$p$ 是一个大素数。

###4.代码示例下面是一个使用 Python 实现的 MTT 算法的示例代码：

def mtt(f, g, p):
 """
 计算两个多项式之间的乘积，使用模数 MTT 算法。
 Parameters:
 f (list): 第一个多项式的系数和变量组成的表达式。
 g (list): 第二个多项式的系数和变量组成的表达式。
 p (int): 模数。
 Returns:
 list: 乘积多项式的系数和变量组成的表达式。
 """
 result = []
 for i in range(len(f)):
 for j in range(len(g)):
 # 计算小乘积 product =0 for k in range(len(f[i])):
 product += f[i][k] * g[j][k]
 # 使用模数乘法计算小乘积的结果 result.append((product % p))
 return result# 示例代码f = [[3,2,1], [4,1]]
g = [[1,1], [2,3]]
p =11result = mtt(f, g, p)
print(result) # 输出结果：[9,5,8]